最近学数值计算，第一次体会到浮点数精度的重要性了。

32 位机器上单精度浮点数有效数字只有 7 位。原因很简单，IEEE 754 （wiki 百科上的介绍很不错，不过访问受限，所以给了另外一个）的浮点数标准中 fraction 占 23 个 bit，换算到十进制的话就是 7 位。严格来说，对 normalized 形式的浮点数，因为小数点前的 1 被省略了， 所以其实是 24 个bit 也就是有 8 位有效数字，但是对于很小的正数，在 denormalized 的形式下，省略的那个 bit 是 0，对有效数字没有贡献，所以只有 7 位有效数字。

如果以单精度的浮点数来计算，要求得到误差小于 10^-7 的结果，可以认为这个是不可能完成的任务吧。（我不知道有没有什么算法可以做到，有的话就太牛了。）输入数据的精度就只有 7 位有效数字，在计算过程中还要产生误差，要求最后的结果误差还要小于 10^(-7) 次方，听起来就比较愚蠢，但是我还是犯了这样的错误。

不过可以给自己一点借口。程序是用 Common Lisp 写的，刚开始使用，了解还不多，而 Common Lisp 默认使用的是单精度的浮点数。于是就发现我写的 Stiffenson 方法上千万次的迭代了还是迭代不到误差小于 10^(-7)，更可笑的是根本就不收敛。千万次的 Stiffenson 方法迭代，算了好久得到这样的结果，瀑布汗啊…… 查程序半天没看出问题，最后才想到是浮点数精度的问题。改成双精度的，问题马上解决。

解决这种问题导致的错误真是痛苦……

数值计算的作业用 Lisp 这样的语言做真是非常棒，有理数精度基本上只受内存限制，函数当参数随便传，不像用 C 的话还得传指针，更何况还有高阶函数。另外边写边调试也很爽！